Đỉnh NGUYỄN

life's a journey not a destination

Thuật toán Dijkstra

Leave a comment


Thuật toán Dijkstra, mang tên của nhà khoa học máy tính người Hà Lan Edsger Dijkstra, là một thuật toán giải quyết bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn trong một đồ thị có hướng không có cạnh mang trọng số âm.

Bài toán

Cho một đồ thị có hướng G=(V,E), một hàm trọng số w: E → [0, ∞) và một đỉnh nguồn s. Cần tính toán được đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn s đến mỗi đỉnh của đồ thị.

Ví dụ: Chúng ta dùng các đỉnh của đồ thị để mô hình các thành phố và các cạnh để mô hình các đường nối giữa chúng. Khi đó trọng số các cạnh có thể xem như độ dài của các con đường (và do đó là không âm). Chúng ta cần vận chuyển từ thành phố s đến thành phố t. Thuật toán Dijkstra sẽ giúp chỉ ra đường đi ngắn nhất chúng ta có thể đi.

Trọng số không âm của các cạnh của đồ thị mang tính tổng quát hơn khoảng cách hình học giữa hai đỉnh đầu mút của chúng. Ví dụ, với 3 đỉnh A, B, C đường đi A-B-C có thể ngắn hơn so với đường đi trực tiếp A-C.

Thuật toán

Thuật toán Dijkstra có thể mô tả như sau:

Ta quản lý một tập hợp động S. Ban đầu S={s}.

Với mỗi đỉnh v, chúng ta quản lý một nhãn d[v] là độ dài bé nhất trong các đường đi từ nguồn s đến một đỉnh u nào đó thuộc S, rồi đi theo cạnh nối u-v.

Trong các đỉnh ngoài S, chúng ta chọn đỉnh u có nhãn d[u] bé nhất, bổ sung vào tập S. Tập S được mở rộng thêm một đỉnh, khi đó chúng ta cần cập nhật lại các nhãn d cho phù hợp với định nghĩa.

Thuật toán kết thúc khi toàn bộ các đỉnh đã nằm trong tập S, hoặc nếu chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất đến một đỉnh đích t, thì chúng ta dừng lại khi đỉnh t được bổ sung vào tập S.

Tính chất không âm của trọng số các cạnh liên quan chặt chẽ đến tính đúng đắn của thuật toán. Khi chứng minh tính đúng đắn của thuật toán, chúng ta phải dùng đến tính chất này.

Chứng minh

Ý tưởng của chứng minh như sau.

Chúng ta sẽ chỉ ra, khi một đỉnh v được bổ sung vào tập S, thì d[v] là giá trị của đường đi ngắn nhất từ nguồn s đến v.

Theo định nghĩa nhãn d, d[v] là giá trị của đường đi ngắn nhất trong các đường đi từ nguồn s, qua các đỉnh trong S, rồi theo một cạnh nối trực tiếp u-v đến v.

Giả sử tồn tại một đường đi từ s đến v có giá trị bé hơn d[v]. Như vậy trong đường đi, tồn tại đỉnh giữa s và v không thuộc S. Chọn w là đỉnh đầu tiên như vậy.

Đường đi của ta có dạng s – … – w – … – v. Nhưng do trọng số các cạnh không âm nên đoạn s – … – w có độ dài không lớn hơn hơn toàn bộ đường đi, và do đó có giá trị bé hơn d[v]. Mặt khác, do cách chọn w của ta, nên độ dài của đoạn s – … – w chính là d[w]. Như vậy d[w] < d[v], trái với cách chọn đỉnh v. Đây là điều mâu thuẫn. Vậy điều giả sử của ta là sai. Ta có điều phải chứng minh.

Mã giả

Phân tích

Với giải thuật đã mô tả ta dễ dàng thực hiện trực tiếp trên các đồ thị kích thước nhỏ,để có thể mã hóa và cài đặt hệ quả cần đưa thêm các cấu trúc dữ liệu để sử dụng trong giải thuật.

Dữ liệu
  • Hàm d(u) dùng để lưu trữ độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn s đến đỉnh u. Rõ ràng d(s)= 0. Ký hiệu X (u) là tập tất cả các đỉnh có cạnh đi tới đỉnh u. Nếu với mọi đã xác định được d(v) thì:

.

  • Để tính được giá trị nhỏ nhất này, như thông thường khi khởi tạo ta phải gán cho d(v)=, sau đó gặp giá trị nhỏ hơn thì thay thế lại.
  • Những đỉnh đã tính được d(v)hữu hạn được cho vào một hàng đợi có ưu tiên. Hàng đợi này luôn được bổ sung và sắp xếp lại nên một cấu trúc hợp lý là cấu trúc đống nhị phân (heap).
  • Để theo dõi trạng thái của các đỉnh trong quá trình xét, ta dùng hàm COLOR(u) xác định với mọi . Lúc đầu các đỉnh được tô màu trắng (WHITE), khi cho vào hàng đợi nó được tô màu xám (GRAY), khi đã tính xong khoảng cách nó được tô màu đen(BLACK).
  • Nếu cần ghi lại đường đi ta sẽ phải dùng một hàm con trỏ PRE(u) để chỉ đỉnh đứng ngay trước đỉnh u trên đường đi ngắn nhất từ s tới u.

Procedure Dijkstra {
 For each  v of V do {
    d(v)=M
    COLOR(v)=WHITE
 d(s)=0
     
 InsertHeap(Q,s)
    k=1  
 While Q khác rỗng do {
    u=Head(Q) 
    Push(Q,u)
    k=k-1
    COLOR(u)=BLACK
    For each v of Ajd(u) {
       if COLOR(v)=WHITE  then {
               k=k+1 
               HeapIndex(v)=k                
               InsertHeap(Q,v)            
               COLOR(v)=GRAY
               PRE(v)=u
               dv=d(u)+w(u,v)
              }
       if (COLOR(v)=GRAY) and d(v)>d(u)+w(u,v) then{     
               d(v)=d(u)+w(u,v)
               PRE(v)=u 
               UpHeap(Q,HeapIndex(v))                
               }
      }
  }

Các thủ tục InsertHeap và UpHeap xem trong thuật toán Prim (Tìm cân bao trùm nhỏ nhất)


Thêm một thủ tục mô phỏng dễ hiểu hơn cho thuật toán này như sau:

Dijkstra(G, s) {

     Khởi tạo tập S chỉ chứa đỉnh ban đầu s;
     for (mỗi đỉnh v thuộc G) {
         D[v] = C(s, v);   // C(s, v)=vô cùng nếu s và v không nối với nhau
     }
     D[s] = 0;
     while ( (V-S) != Φ ) {
           Chọn đỉnh u thuộc (V-S) sao cho D[u] ngắn nhất;
           S = S U {u};
           for ( mỗi v thuộc (V-S) ) {
               if (D[u] + C(u, v) < D[v]) {
                  D[v] = D[u] + C(u, v);         
               }    
           }
     }

}

Thời gian chạy

Thuật toán Dijkstra bình thường sẽ có độ phức tạp là O( n^2+m ). Tuy nhiên ta có thể sử dụng kết hợp với cấu trúc heap, khi đó độ phức tạp sẽ là O( (n+m)*log2(n) ).

Advertisements

Author: dinhnn

Senior software developer, a technical leader. You can be reached at via email to dinhnguyenngoc@gmail.com, via my blog at dinhnguyenngoc.wordpress.com, and on Twitter @dinhnguyenngoc.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s